何為站在軟件之外看軟件？在最近的程序人生的講座、報(bào)道，談及最多的問(wèn)題就是站在軟件之外看軟件。

　內(nèi)外的概念是一個(gè)物理概念，我來(lái)講一個(gè)物理上的例子來(lái)理解如何是站在軟件之外看軟件：凡讀此書(shū)之人，都知道愛(ài)因斯坦，也都知道愛(ài)因斯坦的相對(duì)論，如此足矣。大家都能理解我們生活在這個(gè)三維的空間，愛(ài)因斯坦的相對(duì)論補(bǔ)充了三維空間的理論，在此基礎(chǔ)上添加了時(shí)間的第四維，作為常人無(wú)法理解時(shí)間一維到底如何被看及。

首先，我們知道復(fù)數(shù)表示論的四個(gè)象限，第一象限是正正象限，第二至第四象限都有虛軸；再看在三維空間上建立一個(gè)八個(gè)相空間，其中也僅有一個(gè)相空間是正正正的相空間。其次，我們看一個(gè)問(wèn)題，臺(tái)灣島的海岸線有多長(zhǎng)？我們根據(jù)地圖，按比例測(cè)出一個(gè)數(shù)值來(lái)可以表示該海岸線的長(zhǎng)度；我們也可以事必躬親拿著米尺來(lái)量一下，我們會(huì)發(fā)現(xiàn)，我們測(cè)定結(jié)果比我們計(jì)算出來(lái)的大許多；為了精確起見(jiàn)，我們拿來(lái)厘米尺，再測(cè)量，又大了許多；再者我們使用游標(biāo)卡尺來(lái)測(cè)量，我們會(huì)發(fā)現(xiàn)，我們測(cè)得的結(jié)果是我們根據(jù)地圖測(cè)出來(lái)的幾千萬(wàn)倍？為什么？原因很簡(jiǎn)單，在刻度的范圍內(nèi)，我們把曲線當(dāng)成直線來(lái)測(cè)量了，再逐漸細(xì)化的過(guò)程中，問(wèn)題被測(cè)定更精確，再精確測(cè)量結(jié)果的同時(shí)，我們發(fā)現(xiàn)真正測(cè)量結(jié)果是無(wú)窮大。奇怪？回到上面問(wèn)題：我們?yōu)槭裁床荒芾斫馑木S，有兩個(gè)方面，一是我們始終站正的相空間上，二是我們拿我們認(rèn)為最精確的刻度去度量空間。如果我們可以做到在空間之外看空間，那么我們可以把時(shí)間的概念引入，我們甚至可以從長(zhǎng)度，寬度加時(shí)間來(lái)計(jì)算精確的體積（原始的體積定義是：長(zhǎng)*寬*高），但有一點(diǎn)，因?yàn)榫_的體積是無(wú)窮大？無(wú)窮大不能被理解，即真實(shí)空間不能被理解。好了，如此一點(diǎn)說(shuō)明，你可能對(duì)我們理解時(shí)間的概念有所變更了（足矣），回到正題！

何為軟件之外呢？

軟件之外就是軟件構(gòu)架的思想，我們?nèi)绾螛?gòu)架軟件模型，一個(gè)問(wèn)題--為什么軟件人才流動(dòng)如此讓一個(gè)體制完好的公司處處面臨危機(jī)--被提及時(shí)存在如下的問(wèn)題：一公司的體制并沒(méi)有完好，至少人力資源不體制不完好，二項(xiàng)目計(jì)劃時(shí)沒(méi)有考慮項(xiàng)目如此類的風(fēng)險(xiǎn)，三本質(zhì)而又沒(méi)有邊際問(wèn)題是企業(yè)文化不健康。在一個(gè)健康的體制上才容易構(gòu)建系統(tǒng)的整體模型并易于實(shí)施。

軟件之外是一個(gè)站在如何實(shí)施軟件開(kāi)發(fā)的新高度，如何度量項(xiàng)目的進(jìn)度，我們有無(wú)一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)來(lái)衡量？假如完全根據(jù)進(jìn)度來(lái)實(shí)施將會(huì)如何----機(jī)械化。

一．在軟件之外看軟件什么

軟件的實(shí)施需要工程化，而不是機(jī)械化，人是活動(dòng)的，無(wú)法實(shí)施機(jī)械化，更何況軟件的開(kāi)發(fā)過(guò)程也是一個(gè)創(chuàng)造性過(guò)程。

再講一個(gè)普通的例子，我在從事電力系統(tǒng)自動(dòng)化項(xiàng)目實(shí)施時(shí)，有位自動(dòng)化資深的客戶給我講了一個(gè)道理，他說(shuō)：在世界上有兩種人是推動(dòng)社會(huì)進(jìn)步的，一是勤勞而聰明的人，他在創(chuàng)造世界；一是愚笨而懶惰的人，他在要求別人創(chuàng)造世界。這樣，自動(dòng)化就出現(xiàn)了，它第一種人為第二種做的，但到現(xiàn)在也無(wú)法滿足第二種人的需求。

這雖然是個(gè)笑話，但從其中可以體會(huì)到一個(gè)道理，在從事工程項(xiàng)目時(shí)有兩個(gè)方面一個(gè)是客戶的需求，一個(gè)項(xiàng)目實(shí)施者。

既然軟件從無(wú)到有再到無(wú)的過(guò)程，被稱為軟件工程(將在第二章詳細(xì)討論)，軟件之外的問(wèn)題也就是工程的實(shí)施者和軟件的需求者。

先來(lái)談軟件的需求，在第二節(jié)，我們討論了信息系統(tǒng)，作為目前的世界被稱為信息的時(shí)代的世界，其信息的重要性是不言而喻的。我們構(gòu)建一個(gè)系統(tǒng)，系統(tǒng)為之服務(wù)，服務(wù)者作為計(jì)算機(jī)所能提供的就是數(shù)據(jù)服務(wù)或數(shù)據(jù)化的服務(wù)。
在日常生活中，我們需要被服務(wù)的事物越來(lái)越多，而這些服務(wù)就是我們的需求，這些需求由系統(tǒng)來(lái)解決或提供，而這些系統(tǒng)向人們提供數(shù)據(jù)服務(wù)就是我們?cè)诠こ讨袑?shí)施的對(duì)象。

那么，軟件工程的實(shí)施對(duì)象從事什么樣的服務(wù)。

一個(gè)事物被實(shí)施后，尤其是軟件，它的目標(biāo)就是人們?yōu)橹亩x的功能，對(duì)于對(duì)象的本身稱為操作，軟件的操作就是自動(dòng)地按照一定的邏輯來(lái)整理、分析和抽象數(shù)據(jù)。

軟件的需求和軟件的實(shí)施分開(kāi)來(lái)談是沒(méi)有意義的，但作為理解上，一個(gè)大腦很難對(duì)兩個(gè)事物進(jìn)行同時(shí)分析。軟件的實(shí)施是軟件工程的整個(gè)過(guò)程，需求其實(shí)就是一個(gè)被服務(wù)的對(duì)象的思想或思想過(guò)程。

軟件的實(shí)施就是把對(duì)軟件的需求包裝成軟件的一個(gè)過(guò)程。

軟件之外是什么？一是什么將被包裝成軟件，二是如何包裝成軟件。

二．如何看軟件

如何"看"軟件？這個(gè)"看"字包含有眾多的含義。

首先，軟件是虛的，是被比特存儲(chǔ)的，不是使用顯微鏡就可以看見(jiàn)的，看軟件分兩個(gè)方面，一是看(觀察)軟件執(zhí)行情況，二是看(分析)軟件執(zhí)行過(guò)程。

其次，我們還應(yīng)該考察的是軟件被構(gòu)建的過(guò)程，也就是軟件之外的第二個(gè)問(wèn)題，在構(gòu)建過(guò)程中有什么被記錄，記錄構(gòu)建的過(guò)程的標(biāo)識(shí)？

最后，軟件被使用于何處，使用過(guò)程記錄。

"看"軟件的過(guò)程，是一個(gè)識(shí)別的過(guò)程，在識(shí)別的同時(shí)也還需要分析、記錄、再分析、再記錄等，若我們?cè)趨⑴c軟件的實(shí)施，那么這些分析記錄的文檔是不是軟件的一部分。

當(dāng)然是，但不是軟件的執(zhí)行部分，它是軟件的服務(wù)部分！ (其執(zhí)行部分也是服務(wù)部分，軟件的介紹將在第二章詳細(xì)討論。)

如何分析和記錄軟件的實(shí)施過(guò)程，UML提出"統(tǒng)一軟件開(kāi)發(fā)過(guò)程"，對(duì)軟件的實(shí)施過(guò)程進(jìn)行了詳細(xì)地定義和描述。

打開(kāi)UML等圖書(shū)，首先有一堆關(guān)于圖的描述被說(shuō)明，同樣，UML的也是定義在各類圖的基礎(chǔ)上，但什么是圖呢？

對(duì)于圖，有兩種解釋，一是名詞，說(shuō)明一類(實(shí)體的)事物；二是數(shù)學(xué)概念，定義一類(抽象的)事物。名詞是采用點(diǎn)線等方式描繪出的符號(hào)(說(shuō)成符號(hào)也不大恰當(dāng))；而數(shù)學(xué)概念是采用集合來(lái)定義的，描述各個(gè)元素之間關(guān)系的描述。
對(duì)于軟件工程的實(shí)施，主要的是描述各個(gè)對(duì)象之間的關(guān)系，在第一節(jié)中，我們已經(jīng)把事物對(duì)象描述為一個(gè)集合或一個(gè)集合中的元素，如此現(xiàn)在采用"圖"來(lái)定義各個(gè)元素之間的關(guān)系最為切當(dāng)。

三．什么是圖

有序?qū)=(V(G),E(G))稱為一個(gè)圖，其中V(G)是一個(gè)非空的有限集。V(G)中的元素稱為G的頂點(diǎn)，E(G)是V(G)中全體不同元素構(gòu)成的不同無(wú)序?qū)系囊粋€(gè)子集，E(G)中的元素稱為G的邊。

前面已經(jīng)說(shuō)過(guò)，序?qū)κ且粋€(gè)關(guān)系的序，所以圖的定義就變?yōu)椋喊鸭现械脑睾图现懈髟氐年P(guān)系描繪出來(lái)的圖形的形式。

在圖中，描述集合元素是對(duì)象的定義，而描述元素關(guān)系時(shí)是行為的定義。所以圖也可以定義成：把對(duì)象和對(duì)象行為描繪出來(lái)的圖形的形式。

如此，就明了了，圖就是對(duì)象(采用一種符號(hào)表示)和對(duì)象行為(也采用一種符號(hào)表示)按照一定的邏輯關(guān)系組成的符號(hào)(組)。

(其實(shí)，在數(shù)學(xué)上若想搞清楚圖的定義首先必須搞清楚群的定義，因?yàn)閳D的同構(gòu)在群的基礎(chǔ)說(shuō)就簡(jiǎn)單多了，至于群，在本書(shū)上沒(méi)有介紹，大系統(tǒng)的系統(tǒng)分析員或研究數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)的讀者可以參考一下其相關(guān)資料。)

對(duì)于圖還有如下定義：我們稱

V(G)是圖G的頂點(diǎn)集(元素集)，E(G) 是圖G的邊集(元素關(guān)系集)；在不至于混淆的情況下，有時(shí)分別用V和E表示G的頂點(diǎn)集和邊集。

G的頂點(diǎn)數(shù)|V(G)|有時(shí)也稱為G的階(對(duì)象元素的個(gè)數(shù))，通常用p來(lái)表示；G的邊的數(shù)目|E(G)|一般用q表示。

為了方便，我們通常用uv來(lái)表示邊{u,v}(其中u,v是V(G)的元素)。

邊{u,v}是一個(gè)序?qū)?，或我們稱為關(guān)聯(lián)(該詞不是數(shù)學(xué)術(shù)語(yǔ))，該關(guān)聯(lián)的意思是兩的元素間的有關(guān)系。有圖為有向圖時(shí)，該關(guān)聯(lián)可以表示元素間的所屬，但該處的有序?qū)H表示兩個(gè)元素間的相關(guān)聯(lián)的一一映射,若元素間存在多對(duì)一的映射的話，即在面向?qū)ο蟮姆治鲈O(shè)計(jì)中存在一個(gè)對(duì)象擁有多個(gè)子對(duì)象。

一個(gè)對(duì)象是一個(gè)類元(class unit)的實(shí)例，一個(gè)類被多個(gè)子類繼承，每個(gè)子都可實(shí)例化時(shí)，其分析類元的"圖"在類元(一個(gè)元素，就是圖的一個(gè)頂點(diǎn))上將有多邊，這個(gè)邊就是我們描述圖時(shí)稱之為的度。

如果e=uv∈E(G),則說(shuō)e關(guān)聯(lián)(該詞是數(shù)學(xué)術(shù)語(yǔ))u和v，稱u,v分別為e的端點(diǎn)，并且稱這兩個(gè)頂點(diǎn)是相鄰的。在這種情況下，我們亦稱v是u（或者u是v）的一個(gè)相鄰者。

描述相鄰者時(shí)，其不一定有關(guān)系，若稱為相鄰關(guān)系也為關(guān)系的話，那么，這個(gè)相鄰關(guān)系可能會(huì)體現(xiàn)的在時(shí)間順序上。事件或觸發(fā)過(guò)程將依此關(guān)系為依據(jù)。

對(duì)相鄰關(guān)系元素的取值，在數(shù)學(xué)上具體定義如：

設(shè)u∈V(G),u的鄰域，記作Ng(u)(在不至于混淆的情況下記為N(u)),它是G中全體相鄰于頂點(diǎn)構(gòu)成的V(G)一個(gè)子集合，即
　
　與G的同一個(gè)頂點(diǎn)相關(guān)聯(lián)的兩條邊稱為相鄰邊。

和同一個(gè)元素發(fā)生關(guān)系，作為元素本身肯定是被觸發(fā)的，無(wú)論關(guān)系的緊密與否，這和描述對(duì)象無(wú)關(guān)。

在圖的定義中，如果我們刪去"邊必須相同的"的限制，則導(dǎo)致的結(jié)果稱為多重圖；連接同一對(duì)頂點(diǎn)的兩條或者更多條邊（但是有限的）被稱為多重邊。

如果我們?cè)僭诙嘀貓D中刪去"邊必須連接不同的頂點(diǎn)"的限制，即允許有自環(huán)的存在，則由此導(dǎo)出的結(jié)果稱為偽圖。

圖的定義在日益被描述清楚，如何對(duì)圖的具體定義，對(duì)圖的定義，我認(rèn)為無(wú)須具體了解，在系統(tǒng)分析中由于人們對(duì)UML認(rèn)識(shí)和使用的日益廣泛，于是圖示來(lái)描述問(wèn)題被廣泛采用，其實(shí)在對(duì)事物（系統(tǒng)）分析最被人接收的還是圖。
對(duì)圖的定義和實(shí)質(zhì)地認(rèn)識(shí)，我認(rèn)為還是必要的，如果我們先來(lái)描述UML語(yǔ)言，再來(lái)描述圖（即便是UML圖）我們還有許多疑問(wèn)，這些疑問(wèn)在那里？對(duì)圖能描述什么？如何來(lái)描述？圖元間的關(guān)系如何？當(dāng)然，對(duì)于那些簡(jiǎn)單的圖來(lái)說(shuō)，自然沒(méi)有研究如此之深的必要，但對(duì)于大系統(tǒng)必要使之。

　從簡(jiǎn)單圖到多重圖是一個(gè)拓?fù)涞倪^(guò)程，但對(duì)于系統(tǒng)來(lái)說(shuō)是一個(gè)拓展的過(guò)程，從建立簡(jiǎn)單的模型到大系統(tǒng)的模型的建立的過(guò)程。

若系統(tǒng)內(nèi)模塊存在同構(gòu)或同胚（概念將在下面敘述）等情況，其模塊的構(gòu)建就存在封裝性，就有必要對(duì)其基礎(chǔ)的模塊進(jìn)行封裝以便重用。

在圖的定義里，如果我們把"無(wú)序"兩個(gè)字改為"有序"，便得到所謂的有向圖的概念。更確切的講，所謂的有向圖D是一個(gè)有序?qū)Γ╒(D),A(D)），其中V(D)是一個(gè)非空有限集, V(D)的元素稱為頂點(diǎn)，A(D)是由V(D)中的元素組成的一些有序?qū)?gòu)成，并且要求：
　?、贅?gòu)成有序?qū)Φ膬蓚€(gè)元素不同；
　?、谌魏蝺蓚€(gè)有序?qū)Σ煌?BR>
　顯然，A(D)是一個(gè)有限集。A(D)中的元素稱為弧。

在不至于混淆的情況下，我們通常將?。╱,v）(u,v是D的頂點(diǎn))用uv來(lái)表示。如果e=uv是D的一條弧，則稱u和v是相鄰的且稱e是從u關(guān)聯(lián)到v；我們也稱頂點(diǎn)u控制頂點(diǎn)v。形如uv和vu的一條弧稱為對(duì)稱弧。

　設(shè)D是一個(gè)有向圖，它的逆仍是一個(gè)有向圖，記為D'，D'的頂點(diǎn)集為V(D')=V(D)，弧集為A(D')={vu；uv∈A(D)}；有向圖D的基礎(chǔ)圖是指向無(wú)向邊來(lái)代替D中每一條弧而得到的圖或多重圖。 一個(gè)圖的頂點(diǎn)為位置無(wú)關(guān)，圖中兩個(gè)頂點(diǎn)之間的連線與它的長(zhǎng)度，曲直或者形狀也是無(wú)關(guān)的，這要考慮的是兩個(gè)頂點(diǎn)之間是否有線相連，這正是所謂兩個(gè)頂點(diǎn)之間的拓?fù)湫再|(zhì)。正如此，有些表面上似乎完全不同的圖，卻是相同的。于是我們稱這兩個(gè)圖是同構(gòu)的。

在這里，我們將需要認(rèn)識(shí)到，建立模型時(shí)由于各個(gè)人的知識(shí)范圍，認(rèn)知渠道極其經(jīng)驗(yàn)等方面的影響，所建的模型可能在表面上完全不同，但表達(dá)的內(nèi)容和表述的形式卻是完全相同的，關(guān)于圖的特性，比如說(shuō)同構(gòu)等，將是對(duì)模型的基礎(chǔ)。

圖同構(gòu)的定義

設(shè)G1,G2是兩個(gè)簡(jiǎn)單圖，圖G1與G2被稱為是同構(gòu)的，寫(xiě)著G1≌G2，如果存在一個(gè)從V(G1)到V(G2)之間保持相鄰性的1-1映射σ。就是說(shuō)，在V(G1)到V(G2)之間存在一個(gè)1-1映射σ，使得對(duì)于Ⅴu,v∈V(G1),uv∈E(G1),當(dāng)且僅當(dāng) σ(u)σ(v)∈E(G2)。

我們把從V(G1)到V(G2)之間的保持相鄰性的這個(gè)1-1映射σ叫做圖G1到圖G2間的一個(gè)同構(gòu)映射。

判斷兩個(gè)圖是否具有良好的實(shí)際應(yīng)用的背景。最直接的應(yīng)用就是應(yīng)用于系統(tǒng)工程中，判斷兩個(gè)系統(tǒng)是否同構(gòu)，在這個(gè)系統(tǒng)上建模中具有非常使用的價(jià)值。另一個(gè)直接的應(yīng)用是在計(jì)算機(jī)（主要是軟件工程）中構(gòu)造某種類型的圖（比如UML的各類圖）時(shí)，排除同構(gòu)圖。當(dāng)然判斷兩個(gè)圖的同構(gòu)是非常困難的事，但UML的各類圖中，一般都較為簡(jiǎn)單，當(dāng)然我們不能阻止你構(gòu)建一個(gè)龐雜的系統(tǒng)模型。

當(dāng)然對(duì)于圖應(yīng)用并不僅僅，在判斷兩個(gè)圖的是否同構(gòu)上，另外，我們通過(guò)對(duì)圖的認(rèn)識(shí)，建立一個(gè)合理的模型，比如一個(gè)基圖就可以表述完整的，你卻采用了多重圖來(lái)描述，在某些方面會(huì)給系統(tǒng)帶來(lái)額外的負(fù)擔(dān)。[NextPage]

設(shè)v是圖G的一個(gè)頂點(diǎn)，我們把關(guān)聯(lián)的頂點(diǎn)v的邊數(shù)目稱為v的度數(shù)，簡(jiǎn)稱度，記為d(v)。何謂度，度即是集合中關(guān)系（數(shù)），在前面我們說(shuō)過(guò)，關(guān)系是笛卡兒積的一個(gè)子集，這個(gè)子集就是邊，其元素的個(gè)數(shù)就是度。圖G的最大度和最小度是指圖G中度數(shù)構(gòu)成的集合的中的最大值和最小值，分別用Δ(G)和δ(G)表示。

四．圖研究什么

在面前圖的研究領(lǐng)域上存在一個(gè)問(wèn)題：在使用計(jì)算機(jī)構(gòu)造圖時(shí)會(huì)出現(xiàn)同構(gòu)現(xiàn)象。

一般情況下，以何種方式？構(gòu)造什么樣的圖？圖本身就是一種可以能被描繪成圖一個(gè)集合，在軟件領(lǐng)域，我們關(guān)心的基本上是序列（集合），這個(gè)問(wèn)題在建模表現(xiàn)得很突出。

圖有兩個(gè)方面，一個(gè)是邊，一個(gè)是頂點(diǎn)。

頂點(diǎn)是沒(méi)有序列的概念的，那么的邊的序列如何定義？是方向？

在圖上，我們一般是采用研究圖的（某個(gè)頂點(diǎn)的）度數(shù)來(lái)研究圖的構(gòu)造的。以下看一下度的序列。

設(shè)圖G為簡(jiǎn)單圖，則：
　?、?0≤di≤p-1,I=1,…,p；
　?、?在d1,d2,…,dp中至少存在兩個(gè)值相等。
　　關(guān)于①的證明由圖的定義易知，關(guān)于②證明由①易證。

設(shè)π=(d1,d2,d3,…,dp)是一個(gè)非負(fù)整數(shù)的單調(diào)遞減（或單調(diào)遞增）序列，如果存在一個(gè)p階簡(jiǎn)單圖G，滿足π(G)= π,則稱π是可圖序列的，或簡(jiǎn)稱π是一個(gè)圖序列，并稱G是π的一個(gè)實(shí)現(xiàn)。

在圖的序列領(lǐng)域中主要研究如下問(wèn)題：
　
　第一：圖序列的基本特征是什么？即一個(gè)非負(fù)單調(diào)遞整數(shù)序列π=( d1,d2,d3,…,dp)是圖序列的充要條件是什么？

第二：π=(d1,d2,d3,…,dp)是一個(gè)圖序列，那么π對(duì)應(yīng)的實(shí)現(xiàn)有多少？

第三：如何把圖序列π=(d1,d2,d3,…,dp)對(duì)應(yīng)的實(shí)現(xiàn)全部構(gòu)造出來(lái)。

對(duì)于研究的問(wèn)題，第一個(gè)問(wèn)題是圖論實(shí)施的基礎(chǔ)，我們來(lái)考察系列的隊(duì)列，是研究有向的關(guān)系(可以看成采用序列表示的事件觸發(fā)的關(guān)系)，設(shè)一個(gè)序列是圖序列，但該序列不是用來(lái)表示我們要研究的圖，而研究我們圖的元素關(guān)系的圖。

對(duì)于第二個(gè)問(wèn)題，則是我們開(kāi)始關(guān)心的問(wèn)題，對(duì)于一個(gè)圖序列實(shí)現(xiàn)什么是至關(guān)重要的，建立一個(gè)關(guān)系，其關(guān)系到幾個(gè)元素，關(guān)系是什么？比如一個(gè)人結(jié)婚，我們找到一個(gè)關(guān)系：請(qǐng)親戚朋友吃酒，關(guān)系幾個(gè)元素（來(lái)那些人），各個(gè)關(guān)系什么，有的是親戚有的是朋友。

對(duì)于第三問(wèn)題是實(shí)質(zhì)性問(wèn)題，就是我們需要解決的問(wèn)題，如何把序列（對(duì)應(yīng)的元素或關(guān)系全部構(gòu)造出來(lái)?。┑膶?shí)現(xiàn)（關(guān)系的構(gòu)造圖）全部構(gòu)造出來(lái)。

下面來(lái)研究一下圖系列的基本性質(zhì)：

五．圖的同構(gòu)與拓?fù)?/P>

　六．樹(shù)

樹(shù)和數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)，樹(shù)是簡(jiǎn)單的圖，學(xué)過(guò)數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)的就知道類似"兩叉樹(shù)"的理論，簡(jiǎn)單地講樹(shù)就是在圖的所有結(jié)點(diǎn)中，任意兩個(gè)結(jié)點(diǎn)之間只有唯一的一條簡(jiǎn)單路徑的圖。

在自然界中，樹(shù)是一中根在下的有枝的植物，至于植物它的枝是梯形結(jié)構(gòu)的，我們?cè)趫D論中描述樹(shù)時(shí)，我們常常把根畫(huà)在上面，而把"枝"畫(huà)在下面。

樹(shù)的術(shù)語(yǔ)和特征(采用語(yǔ)言的描述時(shí)稱為語(yǔ)義)